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《固体量子场论》系统介绍了应用于固体物理的量子场论的一些基本概念和主要理论工具. 其中包括场的量子化、格林函数、费曼图技术、重整化群、规范理论等.特别是介绍了场论中的一些计算技术及其在固体物理中的重要应用. 包括图形微扰论、运动方程方法、响应函数的计算、电荷输运、自旋输运、量子霍尔体系、拓扑绝缘体以及利用动力学平均场论(及其拓广)来作电子结构计算等.

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《固体量子场论》可供物理系高年级本科生、研究生和从事固体物理、材料物理、理论物理研究的科研工作者使用.

书摘插图

第一章粒子、准粒子和量子场

　　第一节引论

　　量子场论能够以一种粒子与波动的统一观点来看待各种“粒子”(包括光子等)，首先可以把粒子与某种经典的（即未量子化的)“场”相联系.例如，与非相对论性粒子相联系的场是满足薛定谔方程的场，与相对论性粒子相对应的场满足相对性场方程（其形式视粒子自旋而定).其中与自旋为1的光子相对应的是满足麦克斯韦(Maxwell)方程的电磁场.对这些经典场进行量子化，就能得到相应的量子场.

　　量子场论是场的量子理论，它把粒子看成场的量子（例如，光子就被看成电磁场的量子)，从而建立起粒子与场的对应.粒子的性质以及粒子间的相互作用可由场的性质以及场之间的相互作用来反映.也就是说量子场论可以描述粒子的性质以及粒子之间的相互作用（粒子的产生、消灭和相互转变等).

　　这样，量子场论成为了基本粒子物理最重要的解析工具.然而量子场论的应用绝不仅限于此.那些具有“粒子”行为的对象，如凝聚态物理中的“准粒子”(元激发，其行为类似于在介质中运动并具有一定能量动量的粒子，如声子（plionon)等)，也可以用场论方法来研究.在量子场论的自身发展过程中，逐渐显示出它有许多适合于对量子多粒子系统中的现象作分析的特点.这始于福克（Fock)表象理论，它使得量子场论能够为那些状态能由一组数列来分类的量子体系提供恰当的语言.量子场论还给我们提供了一些精美的工具，它们是如此强有力，使得场论方法具有巨大的普适性.例如，我们可以从统一的观点和方法去研究：从夸克、粒子到准粒子的行为，从磁性金属中的相变到早期宇宙中的相变，从量子体系到某些经典体系以及某些宏观与微观客体共存的体系等.人们也找到了量子场论与统计力学之间的密切联系：一个D维体系的量子场论能够表述成一个D+1维体系的统计力学的理论.今天量子场论方法已被广泛应用于包括固体物理在内的多门学科中.

　　至于对经典波动场进龍子化的方法，主要有正则量子化途径(或称算符途径)和路径积分量子化途径（或称泛函积分途径).我们在本章将以非相对论性粒子体系为例来说明正则量子化途径的基本思想和方法，并在第七章中介绍路径积分量子化途径?

　　下面将采用如下约定：设场所处的空间为d维，时空中任意点的坐标矢量x的（逆变）分量为，其中，希腊字母指标0，1， ，d，而反映空间分量的指标将用拉丁字母表示，

　　.通常不加特别指出时，

　　3.d+1维Minkowshi时空的度规张量为如下对角矩阵：=diag(l，-1， .，-1).这样可通过度规叫及其逆矩阵来实现时空指标的升降.例如，坐标矢量x的(协变）分量等（其中重复指标S动求和另外，我们在不加说明时总采用自然单位制：

　　第二节经典场的正则量子化方法

　　一、经典场的拉格朗日形式

　　体系的拉格朗日函数（简称拉氏函数）m=t-v是提取该体系物理信息的基本理论工具（T，y分别为体系的动能和势能)，例如，通常我们能从拉氏函数求出体系的运动方程.对于经典场这种体系，拉氏函数可以借助于拉氏密度?来表达为L(t)=J ddxC.设拉氏密度L是场量=ipa(x)(有时简记为及其导数

　　的函数.其中，下标a=1，2， ，71，它可以表不不同场量或者同一个场量的不同分量.由作用量原理可导出如下场的运动方程（拉氏方程）其中，重复的时空指标自动求和（爱因斯坦求和规约).

　　二、经典场的哈密顿形式

　　将场量9a{x)视为正则坐标，定义和它共轭的正则动量为

　　其中，我们目前仅考虑na(x)+0(即无约束）的情形?这种情形

　　下，可以通过勒让德变换引入如下的场的哈密顿密度(简称哈氏密度）H(参见附录式（1B.7)):

　　而场的（总）哈密顿为从拉氏运动方程(1.2.1)以及式（1.2.2)和式（1.2.3)可以得出场的运动方程（哈密顿正则运动方程).注意在式（1.2.3)中必须把W和仏理解成和的函数.由该式可得

　　其中，重复指标自动求和.因

　　其中，第二等式利用了拉氏方程.又因有

　　三、经典场的正则量子化

　　经过量子化，经典场量就会成为算符（用符号A标记).在无约束的情形，经典场的正则量子化方法如下.

　　(1)对正则变量（即正则坐标和正则动量）施加如下等时量子化关系：

　　其中，有下标-号的对易子用于玻色子场;有+号的反对易子用于费米子场;若无正负下标，均理解成对易子.此外，费米子场总是和玻色子场对易.场量和它共轭的动量之间的非零关系式表明它们现在已经是算符：场算符，即量子场.此时作为场量的函数的任何量（如场的哈氏密度及总哈密顿）也是算符.

　　(2)量子场满足如下的海森伯运动方程：

　　是场的总哈密顿.方程组(1.2.8)不是别的，正是场的正则运动方程的算符形式.虽然无论对玻色子场或是费米子场，方程组(1.2.8)均成立，但我们仅在玻色子场情形下来验证此结论：

　　上述推导中，我们利用了公式

　　其中，入s都与[A，b]对易

　　显然式（1.2.10)和式（1.2.11)正是式（1.2.5)和式（1.2.6)对应的量子化（算符)形式.

　　第三节非相对论性粒子体系的场论描述

　　一、薛定擇场方程

　　量子力学（QM)中一个三维空间中的非相对论性粒子满足薛定谔方程(简称S-方程).设电子处于外势场yfe)中，则有

　　为简单我们暂未计及自旋指标.其中，波函数代表t时刻在2处出现这个粒子的概率幅.假设我们能求解相应的能量本征方程：

　　这至少对于某些特定的势函数能做到，我们把本征函数Ml)或它对应的含时波函数称为S-方程的模解。

　　例如，对于自由粒子（VU)=0)，有正交归一的本征函数解：

　　其中，V是箱归一化体积，并且由于此时它也是动量本征函数，故下标A可改用p来表示.粒子动量满足关系式：

　　进而也可以得到S-方程的含时波函数：

　　如果不采用箱归一化而采用连续归一化，则应将1/y/V换成1/v^rF-

　　上述量子力学的S-方程是一个单粒子方程，它既不能描述多个粒子，更不能描述粒子的产生和消灭.但从量子场论的观点来看，我们可以将槐治理解成一种“波动场'薛定谔方程(1.3.1)被视为该波动场的场方程，把这种场量子化后，粒子将作为场的量子而出现.这就像麦克斯韦波动方程被视为电磁场的场方程，量子化后场的量子就是光子那样.

　　二、薛定谔场方程的量子化

　　易验证方程(1.3.1)是能由如下拉氏密度导出的拉氏方程：

　　定义和正则坐标i>{x)共轭的正则动量为

　　场的哈氏密度H为

　　为了把经典场量子化，我们可以对正则变量施加如下等时量子化关系：

　　量子化后的场算符奴x)满足的是海森伯运动方程：

　　其中，H是场被量子化（二次量子化）后的哈密顿_利用式（1.3.8)和式（1.3.11)可以验证这个海森伯运动方程正是算符形式的薛定谔方程，它和式（1.3.1)有相同的形式，区别在于此时场量不是经典场而是算符形式的量子场，即我们已将经典的薛定谔方程进行了量子化。

　　显然场算符可以写成为S-方程的模解的叠加：

　　其中注意：aA与无关.取式（1.3.12)的厄米共辗，有

　　场方程和场算符还常用另一种等价的表述形式：将本征方程

　　视为场算符满足的场方程.将场算符按模解展开可得

书籍介绍

系统介绍了应用于固体物理的量子场论的一些基本概念和主要理论工具. 其中包括场的量子化、格林函数、费曼图技术、重整化群、规范理论等.特别是介绍了场论中的一些计算技术及其在固体物理中的重要应用. 包括图形微扰论、运动方程方法、响应函数的计算、电荷输运、自旋输运、量子霍尔体系、拓扑绝缘体以及利用动力学平均场论（及其拓广）来作电子结构计算等。